Задание 18. ЕГЭ
Знание основных понятий и законов математической логики
Задание 1
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Например, 14&5 = 1110 & 0101 = 0100 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x&49 ≠ 0 → (x&41 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Задание 2
На числовой прямой задан отрезок A. Известно, что формула ((x ∈ A) → (x2 ≤ 81)) ∧ ((y2 ≤ 36) → (y ∈ A)) тождественно истинна при любых вещественных x и y. Какую наибольшую длину может иметь отрезок A?
Задание 3
Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Например, 14&5 = 1110 &0101 = 0100 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x&9 = 0 → (x&19 ≠ 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?
Задание 4
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа A выражение (y + 2x ≠ 48) ∨ (A < x) ∨ (x < y) тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?
Задание 5
На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 30] и Q = [14, 23]. Укажите наибольшую возможную длину промежутка A, для которого формула ((x ∈ P) ~ (x ∈ Q)) → ¬(x ∈ A) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.