Задачи на проверку решений. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

При­ве­денные при­ме­ры сос­та­вле­ны, как пра­ви­ло, из оши­бо­чных или не­дос­та­то­чно коррек­тных ре­ше­ний экза­ме­на­ци­онных за­дач. Ра­збе­ри­те ре­ше­ни­е. Опре­де­ли­те…

Задание 1

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 9. Решить неравенство . Решение: Заметим, что функция возрастает, поэтому рассматриваемое неравенство равносильно двойному неравенству . Неравенство имеет решения x > 3. Рассмотрим неравенство . В силу предыдущего неравенства, правая часть неравенства строго положительна, обе части неравенства можно разделить на , получим . Ответ: .

Задание 2

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 1. Решить уравнение . Решение: Логарифмируя обе части исходного уравнения по основанию 3, получаем , откуда находим , или . Ответ: .

Задание 3

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 5. Решить уравнение . Решение: Воспользовавшись формулой преобразования разности логарифмов в логарифм частного, получаем , откуда следует . Решив последнее уравнение, находим x=5. Ответ: x=5.

Задание 4

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 3. Решить неравенство . Решение: Исходное неравенство равносильно неравенству , решая которое, получаем . Ответ: .

Задание 5

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 4. Решить уравнение . Решение: Воспользуемся формулой преобразования суммы логарифмов в логарифм произведения. Получаем уравнение , откуда следует . Корнями последнего уравнения являются и , которые и запишим в ответ. Ответ: .

Задание 6

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 7. Решить неравенство . Решение: Заметим, что . Тогда исходное неравенство можно переписать в виде , или . Поскольку основание логарифма , то логарифмическая функция с таким основанием убывает и, следовательно, большему значению этой логарифмической функции соответствует меньшее значение ее аргумента. Перейдём от неравенств для функций к неравенству для их аргументов, помяняв при этом знак неравенства и добавив условие существования догарифма. В результате получим систему двух неравенств, равносильную исходному неравенству . Ответ: .

Задание 7

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 6. Решить неравенство . Решение: Логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Это означает, что из исходного неравенства следует неравенство , решая которое, получаем ответ x<5. Ответ: x<5.

Задание 8

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 8. Решить неравенство . Решение: Воспользовавшись формулой разности логарифмов с одинаковым основанием, приходим к неравенству , которое равносильно системе неравенств . Решением первого неравенства является множество , а решением второго - множество . Решением системы неравенств служит пересечение полученных множеств, которое и является ответом данного неравенства . Ответ: .

Задание 9

Задание: Разберите решение. Определите, имеется ли в решении ошибка, объясните из-за чего она допущена. Если приведённое решение правильное, то напишите это в форме ответа. Пример 2. Решить неравенство . Решение: Запишем неравенство в виде . Поскольку основание степени больше единицы, функция возрастает на всей числовой оси и это неравенство равносильно неравенстсву , откуда получаем . Ответ: .